Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

 

El teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:
 

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.- Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es, se establece que:

(1)     

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

         

                                                       

Demostración:

                             

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto a, es decir a+b, como en la figura de la derecha. 

El área de este cuadrado será (a+b)².

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): 

más el área del cuadrado amarillo c². Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

Ejm:

 Dados A= 20º C= 80m Resolver el triángulo  




Sen A=  a/c   
Sen 20º= a/80  
a= 80.sen 20º  

a= 27,36                                

  Cos A= b/c
  Cos 20º= b/80  
  b= 80. Cos 20º   

             b= 75,18

           Sen B= b/c    
           Sen B= 75,18/80  
           Sen B=0,9398      
           B= Sen − ¹ 0, 9398   

                 B= 70º



EJEMPLOS INTERACTIVOS